VídeoAula do Curso de Matemática. Relações de Girard na Equação do terceiro 3º grau. Raízes do polinômio da função do 3 terceiro grau em termos de soma e produto.

As fundamentações ou relações de Girard são responsáveis pelas relações existentes entre os coeficientes de uma equação algébrica e suas respectivas raízes. Na equação do 2º (segundo) grau, tais relações são obtidas por intermédio das fórmulas ou equações da soma e do produto: – b/a e c/a, respectivamente.

As equações do 3º grau possuem como lei de formação a equação algébrica: ax³ + bx² + cx + d = 0, com a ≠ 0 e raízes x₁, x₂ e x₃. A decomposição dessa equação possibilita a determinação de expressões matemáticas capazes de relacionar as raízes da equação. Veja:

ax³ + bx² + cx + d = a[x³ – (x₁+x₂+x₃)x² + (x₁*x₂ + x₁*x₃ + x₂*x₃) – x₁*x₂*x₃

Dividindo-se a equação por a, tem-se:

Fazendo-se a igualdade entre os polinômios:

x₁ + x₂ + x₃ = – b/a

x₁ * x₂ + x₁ * x₃ + x₂ * x₃ = c/a

x₁ * x₂ * x₃ = – d/a

Os polinômios do 4º grau têm a lei de formação: ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e = 0. Nessa equação polinomial tem-se, no máximo, a existência de 4 (quatro) possíveis raízes, que, quando relacionadas, formam as expressões:

x₁ + x₂ + x₃ + x₄ = – b/a

x₁ * x₂ + x₁ * x₃ + x₁ * x₄ + x₂ * x₃ + x₂ * x₄ + x₃ * x₄ = c/a

x₁ * x₂ * x₃ + x₁ * x₂ * x₄ + x₁ * x₃ * x₄ + x₂ * x₃ * x₄ = – d/a

x₁ * x₂ * x₃ * x₄ = e/a

Soma e produto das raízes da equação do 3 terceiro grau Relações de Girard das raízes da função de terceiro 3 grau.

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Problema solucionado: Encontre as relações de Girard para a equação algébrica do terceiro (3º) grau:

X3 + 7x2 – 6x +1 = 0.

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